نظرية الاعداد 3

المدير العام

قرر أي من العبارات التالية صحيحة و أي منها خطأ ، في حالة الصحة اعط تبريرا مقتضبا و في حالة الخطأ اعط مثالا :

أ) إذا كان جـ = أ س + ب ص فإن جـ = ( أ ، ب )

ب) القاسم المشترك لـ أ و ب يكون قاسما لـ ( أ ، ب )

جـ) إذا كان أ ب | جـ فإن أ | جـ و ب | جـ

د) ( أ ب ، جـ ) = ( أ ، جـ ) × ( ب ، جـ ) إذا كان أ و ب أعداد أولية

2) باستخدام خوارزمية إقليدس ، أوجد القاسم المشترك الأكبر

أ) 7469 ، 2464

ب) 1109 ، 4999

3) باستخدام خوارزمية إقليدس ، أوجد القاسم المشترك الأكبر

( 42823 ، 6409 )

أوجد س و ص بحيث

6409 س + 42823 ص = 17

4) إذا كان ( أ ، 4 ) = 2 و ( ب ، 4 ) = 2 برهن أن ( أ + ب ، 4 ) = 4

5) برهن إذا كان أ ، ب > صفر بحيث ( أ ، ب ) = [ أ ، ب ] فإن أ = ب

6) أثبت أنه لا يوجد أعداد صحيحة س و ص بحيث

س + ص = 100 و ( س ، ص ) = 3

7) أثبت أنه يوجد أعداد صحيحة س و ص بحيث

س + ص = 100 و ( س ، ص ) = 5

Cool

ليكن م و ن أعداد صحيحة موجبة ، أثبت أنه يوجد أعداد صحيحة س و ص

بحيث س + ص = م ، ( س ، ص ) = ن إذا و فقط إذا م | ن

9) أوجد أ و ب أعداد صحيحة موجبة التي تحقق

( أ ، ب ) = 10 ، [ أ ، ب ] = 100

أوجد جميع الحلول

10) برهن أن ( أ ، أ + ب ) = ( أ ، ب )

11) إذا كان أ و ب أعداد صحيحة موجبة ، برهن أن ( أ ، ب ) = 1

إذا و فقط إذا ( أ2 ، ب2 ) = 1

12 ) برهن أن ( ن - 1 ، 2ن - 1 ) = 1 و كذلك ( 2ن - 1 ، 3ن - 1 ) = 1

13)* إذا كان م و ن أعداد صحيحة موجبة ، برهن أن

( 2م - 1 ، 2 ن - 1 ) = 1 إذا و فقط إذا ( م ، ن ) = 1

14) برهن أن ( 2ن2 + 6ن - 4 ، 2ن2 + 4ن - 3 ) = 1
( استخدم القسمة و خوارزمية إقليدس )

15)* إذا كان ( أ2 ، ب جـ ) = م ، م عدد اولي أثبت أنه

إما ( أ ، ب ) = 1 أو ( أ ، جـ ) = 1