Représentation des nombres entiers et réels

Représentation d'un nombre dans un ordinateur
On appelle représentation (ou codification) d'un nombre la façon selon laquelle il est décrit sous forme binaire. La représentation des nombres sur un ordinateur est indispensable pour que celui-ci puisse les stocker, les manipuler. Toutefois le problème est qu'un nombre mathématique peut être infini (aussi grand que l'on veut), mais la représentation d'un nombre dans un ordinateur doit être faite sur un nombre de bits prédéfini. Il s'agit donc de prédéfinir un nombre de bits et la manière de les utiliser pour que ceux-ci servent le plus efficacement possible à représenter l'entité. Ainsi il serait idiot de coder un caractère sur 16 bits (65536 possibilités) alors qu'on en utilise généralement moins de 256...

Représentation d'un entier naturel
Un entier naturel est un entier positif ou nul. Le choix à faire (c'est-à-dire le nombre de bits à utiliser) dépend de la fourchette des nombres que l'on désire utiliser. Pour coder des nombres entiers naturels compris entre 0 et 255, il nous suffira de 8 bits (un octet) car 28=256. D'une manière générale un codage sur n bits pourra permettre de représenter des nombres entiers naturels compris entre 0 et 2n-1.

Pour représenter un nombre entier naturel après avoir défini le nombre de bits sur lequel on le code, il suffit de ranger chaque bit dans la cellule binaire correspondant à son poids binaire de la droite vers la gauche, puis on « remplit » les bits non utilisés par des zéros.

Représentation d'un entier relatif
Un entier relatif est un entier pouvant être négatif. Il faut donc coder le nombre de telle façon que l'on puisse savoir s'il s'agit d'un nombre positif ou d'un nombre négatif, et il faut de plus que les règles d'addition soient conservées. L'astuce consiste à utiliser un codage que l'on appelle complément à deux.

un entier relatif positif ou nul sera représenté en binaire (base 2) comme un entier naturel, à la seule différence que le bit de poids fort (le bit situé à l'extrême gauche) représente le signe. Il faut donc s'assurer pour un entier positif ou nul qu'il est à zéro (0 correspond à un signe positif, 1 à un signe négatif). Ainsi si on code un entier naturel sur 4 bits, le nombre le plus grand sera 0111 (c'est-à-dire 7 en base décimale).
D'une manière générale le plus grand entier relatif positif codé sur n bits sera 2n-1-1.
un entier relatif négatif grâce au codage en complément à deux.
Principe du complément à deux :
Soit à représenter un nombre négatif.
Prenons son opposé (son équivalent en positif)
On le représente en base 2 sur n-1 bits
On complémente chaque bit (on inverse, c'est-à-dire que l'on remplace les zéros par des 1 et vice-versa)
On ajoute 1
On remarquera qu'en ajoutant le nombre et son complément à deux on obtient 0...
Voyons maintenant cela sur un exemple :
On désire coder la valeur -5 sur 8 bits. Il suffit :
d'écrire 5 en binaire : 00000101
de complémenter à 1 : 11111010
d'ajouter 1 : 11111011
la représentation binaire de -5 sur 8 bits est 11111011
Remarques:
Le bit de poids fort est 1, on a donc bien un nombre négatif.
Si on ajoute 5 et -5 (00000101 et 11111011) on obtient 0 (avec une retenue de 1...).
Représentation d'un nombre réel
Il s'agit d'aller représenter un nombre binaire à virgule (par exemple 101,01 qui ne se lit pas cent un virgule zéro un puisque c'est un nombre binaire mais 5,25 en décimale) sous la forme 1,XXXXX... * 2n (c'est-à-dire dans notre exemple 1,0101*22). La norme IEEE définit la façon de coder un nombre réel.
Cette norme se propose de coder le nombre sur 32 bits et définit trois composantes :

le signe est représenté par un seul bit, le bit de poids fort (celui le plus à gauche)
l'exposant est codé sur les 8 bits consécutifs au signe
la mantisse (les bits situés après la virgule) sur les 23 bits restants
Ainsi le codage se fait sous la forme suivante :
seeeeeeeemmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
le s représente le bit relatif au signe
les e représentent les bits relatifs à l'exposant
les m représentent les bits relatifs à la mantisse
Certaines conditions sont toutefois à respecter pour les exposants :

l'exposant 00000000 est interdit
l'exposant 11111111 est interdit. On s'en sert toutefois pour signaler des erreurs, on appelle alors cette configuration du nombre NaN, ce qui signifie Not a number
Il faut rajouter 127 (01111111) à l'exposant pour une conversion de décimal vers un nombre réel binaire. Les exposants peuvent ainsi aller de -254 à 255
La formule d'expression des nombres réels est ainsi la suivante:

(-1)^S * 2^( E - 127 ) * ( 1 + F )où:

S est le bit de signe et l'on comprend alors pourquoi 0 est positif ( -1^0=1 ).
E est l'exposant auxquel on doit bien ajouter 127 pour obtenier son équivalent codé.
F est la partie fractionnaire, la seule que l'on exprime et qui est ajoutée à 1 pour effectuer le calcul.
Voyons ce codage sur un exemple :
Soit à coder la valeur 525,5.

525,5 est positif donc le 1er bit sera 0.
Sa représentation en base 2 est la suivante : 1000001101,1
En normalisant, on trouve : 1,0000011011*2^9
On ajoute 127 à l'exposant qui vaut 9 ce qui donne 136, soit en base 2 : 10001000
La mantisse est composée de la partie décimale de 525,5 en base 2 normalisée, c'est-à-dire 0000011011.
Comme la mantisse doit occuper 23 bits, il est nécessaire d'ajouter des zéros pour la compléter :
00000110110000000000000
La représentation du nombre 525,5 en binaire avec la norme IEEE est donc :
0 1000 1000 00000110110000000000000
0100 0100 0000 0011 0110 0000 0000 0000 (4403600 en hexadécimal)
Voici un autre exemple avec un réel négatif :
Soit à coder la valeur -0,625.

Le bit s vaut 1 car 0,625 est négatif
0,625 s'écrit en base 2 de la façon suivante : 0,101
On souhaite l'écrire sous la forme 1.01 x 2-1
Par conséquent l'exposant vaut 1111110 car 127 - 1 = 126 (soit 1111110 en binaire)
la mantisse est 01000000000000000000000 (seuls les chiffres après la virgule sont représentés, le nombre entier étant toujours égal à 1)
La représentation du nombre 0,625 en binaire avec la norme IEEE est :
1 1111 1110 01000000000000000000000
1111 1111 0010 0000 0000 0000 0000 0000 (FF 20 00 00 en hexadécimal)


Ce document intitulé « Représentation des nombres entiers et réels » issu de Comment Ça Marche (www.commentcamarche.net) est mis à disposition sous les termes de la licence Creative Commons. Vous pouvez copier, modifier des copies de cette page, dans les conditions fixées par la licence, tant que cette note apparaît clairement.